Auch hier wollen wir uns auf einige einfache Beispiele beschränken. Methoden zur Lösung komplexerer geometrisch-topologischer Probleme werden in der computational geometry (geometrische Datenverarbeitung) entwickelt; sie bilden eine wesentliche methodische Grundlage z.B. für Geoinformationssysteme. In der Übung "Werkzeuge zur numerischen Modellierung" werden derartige Methoden ausführlicher besprochen und benutzt.

In den folgenden Beispielen soll jeweils ein kartesisches Koordinatensystem im 2D-Raum R² mit euklidischer Metrik vorausgesetzt werden:
 

Problem 1: Liegt ein Punkt P(xP, yP) auf der Geraden g:= y = a + bx ? Lösung: Einsetzen der Koordinaten des Punktes P in die Geradengleichung;  P liegt auf g, wenn Gleichheit besteht. Dieses Problem kann auch mit Hilfe homogener Koordinaten gelöst werden. Beispiel: Liegt P(2;3) auf der Geraden g:= y = 4 + 5x ? 3 =? 4 + 5×2 ® 3 ¹ 14, also liegt P nicht auf g.

Problem 2: Berechne die Gerade g, die durch die beiden Punkte A(xA, yA) und B(xB, yB) geht Lösung: Man setzt die Koordinatenwerte der Punkte A und B jeweils in die Geradengleichung g:= y = a + bx ein, erhält damit ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden zu bestimmenden Unbekannten a und b. Die resultierenden Terme für a und b werden in die Geradengleichung eingesetzt.

Alternative Lösung:
Man setzt die bekannten Punktkoordinaten in die 2-Punkte-Form der Geradengleichung ein:
g:= y = y_A + (y_B - y_A)(x - x_A) / (x_B - x_A)

Beispiel:
Die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte A(2;4) und B(4;2) lautet y= 6 - x
Sie hat also den Ordinatenabschnitt 6 und die Steigung -1.

 

Problem 3: Zwei nicht-parallele Geraden g und h schneiden sich in genau einem Punkt. Man bestimme die Koordinaten dieses Schnittpunktes S. Lösung: Man fasst die beiden Geradengleichungen  g:= y = a + bx und h:= y = c + dx in einem linearen Gleichungssystem zusammen, erhält also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten x und y und löst dieses nach x und y auf; dies sind die Koordinaten des Schnittpunktes S.

Beispiel:
g:= y = 2 - 3x und h:= y = 4 + 5x;
die Lösung des Gleichungssystems ergibt x = -0,25 und y = 2,75.

Problem 4: Wie weit liegt ein Punkt P von einer Geraden g entfernt ? Lösung: Der Abstand d(P,g) ist gleich der minimalen Distanz zwischen P und einem Punkt Q auf der  Geraden g:= y = a + bx, formal:  d(P, g) = min {d(P,Q) mit: Q liegt auf g} Praktisch berechnet man dazu zunächst die zu g rechtwinklige Gerade  h:= y = c + dx, die durch P geht; h hat stets die Steigung d = -1/b. Der Schnittpunkt beider Geraden sei Q. Dann ist die Distanz d(P,Q) entsprechend der euklidischen Metrik der gesuchte Abstand des Punktes P von der Geraden g.

Beispiel:
Wie weit liegt der Punkt P(3; 2) von der Geraden g:= y = 1 + 2x entfernt ?
Die Steigung der zu g senkrechten Geraden h ist d = -1/2; mittels der Koordinaten von P erhält man dann den Ordinatenabschnitt c = 7/2. Es ist also h:= y = 7/2 -1/2x. Für den Schnittpunkt Q der beiden Geraden gilt dann Q(1; 3). Mithin ist d(P,g) = d(P, Q) = 5^1/2 = 2,24...

Problem 5: Wie groß ist die Fläche eines Polygons (n-Ecks), wobei das Polygon durch einen geschlossenen, aus mehreren Linienstücken bestehenden Polygonzug beschrieben wird? Lösung: Das Polgon sei durch die Punkte Pi(xi, yi) mit i=1, . . n im mathematisch positiven Sinne (also entgegen dem Uhrzeigersinn) definiert.Dann lässt sich die Fläche F folgendermaßen berechnen:

Hinweis: Bei umgekehrter Reihenfolge der Punkt-Numerierung (mathematisch negativ) ist der  Betrag der Summe  zu verwenden.

Beispiel:
Wie groß ist die Fläche des durch die drei Punkte P₁(1; 1), P₂(5; 1) und P₃(4; 5) definierten Polygons ? Die Anwendung der obigen Berechnungsformel ergibt F = 8 Flächeneinheiten.

Problem 6:
Liegt ein Punkt P innerhalb oder ausserhalb eines Polygons ?

Lösung:
Ist das Polygon konvex, so ist die Lösung noch relativ einfach:
 

Ein Polygon heisst konvex, wenn für jedes Punktepaar, das innerhalb des Polygons liegt, sich auch dessen Verbindungsstrecke vollständig im Polygon befindet

Man durchläuft die Grenzlinien des konvexen Polygones im mathematisch positiven Sinne; liegt der Punkt P immer auf der linken Seite (siehe dazu das Beispiel zu den homogenen Koordinaten), so befindet sich der Punkt P innerhalb des Polygons, anderenfalls ausserhalb. Auch die Lage von P genau auf dem Polygonrand lässt sich mit Hilfe homogener Koordinaten leicht bestimmen.

Für ein nicht-konvexes Polygon (also mit herausspringenden Ecken) ist die Lösung schon schwieriger; eine mögliche Lösung ist folgende:
Man sendet vom Punkt P aus einen Halbstrahl z.B. in östliche Richtung und schneidet ihn mit allen Randlinien des Polygons; ist die Anzahl der Schnittpunkte ungerade, so liegt der Punkt P innerhalb des Polygons. Diese Lösungsidee funktioniert auch bei konvexen Polygonen.
 
Probleme ergeben sich allerdings, wenn der Halbstrahl tangential den Rand des Polygones trifft; für die praktische Anwendung dieses point-in-polygon - Problems muss also eine effizientere Lösung gefunden werden.
 

Neben solchen grundlegen Problemen geometrisch-topologischer Analysen gibt es natürlich fast beliebig komplexere Aufgabenstellungen im Hinblick auf fachlich- geowissenschaftliche Fragen. Exemplarisch sollen hier (unter Verzicht auf die algorithmischen Lösungsmöglichkeiten) geometrisch-topologische Analysen in Netzwerken betrachtet werden; zur Netzwerk-Definition sei auf das Kapitel 4.5 verwiesen.
 

Wir betrachten ein einfaches Beispiel eines Netzwerkes. Dies könnte z.B. ein als ungerichteter Graph modelliertes Straßennetz oder Netzwerk von Ver- oder Entsorgungsleitungen sein. Hinsichtlich der Qualität der Daten ist darauf zu achten, dass - keine knotenfreien Kreuzungen existieren - keine Kante über den zug. Knoten hinausschiesst (overshoot) - keine Kante einen zug. Knoten nicht ganz erreicht (undershoot)

Einige Grundbegriffe zur Analyse von Netzwerken: Pfad (path) = Weg von Knoten A zu Knoten B (s. Beispiel) Route = Weg Knoten A über Knoten B, C, .. zu Knoten E (s. Beispiel) Tour = geschlossene Route von Knoten A zu Knoten A (s. Beispiel) Stopp = aufgesuchter Standort innerhalb einer Tour Übergang (turn) = Wechsel von einer Kante zu einer angrenzenden Kante über einen beide verbindenden Knoten (s. Beispiel)

Typische Analyseprobleme in Netzwerken sind:
 

Shortest-Path-Problem: Gesucht ist die (entsprechend der gewählten Metrik!) geometrisch kürzeste Route von Knoten A nach Knoten E. Hier ist von A nach E die rote Alternative der geometrisch kürzeste Weg. Als Variante kann auch der topologisch kürzester Weg gesucht werden, wobei die Anzahl der Knoten und/oder Kanten zu minimieren ist. Anwendung: Kürzeste/schnellste Erreichbarkeit von Unfallorten; Anschluss eines Versorgungsteilnehmers
Travelling-Salesman-Problem: Gesucht ist die optimale Anfahrreihenfolge von n vielen Kunden auf kürzestem/schnellstem Weg mit anschliessender Rückkehr zum Ausgangspunkt. Im Beispiel soll der Punkt A der Ausgangs- und Endpunkt sein; die Punkte B, C und D müssen besucht werden. Anwendung: Kundendienstmitarbeiter, Handelsvertreter, Anschluss mehrerer Versorgungsteilnehmer, Müllentsorgung
Standortplanung (Location - Allocation): Gesucht ist der optimale Standort für ein geplantes Ver- oder Entsorgungsunternehmen; dabei sollen minimale Transportkosten entstehen; alternative/ergänzende Ziele können die Maximierung des potentiellen Einzugsgebietes oder die geringstmögliche Überschneidung mit benachbarten Einzugsgebieten sein. Im Beispiel ist der Punkt A optimaler Standort für die Versorgung der Punkte B, C, D, E und F unter Berücksichtigung ausschließlich der gesamten Weglänge. Anwendung: Standortsuche für Schulen, Kindergärten, Feuerwachen, Supermärkte, Restaurants ect.

Die drei oben aufgeführten Analyseprobleme sind die einfachsten Basisprobleme für Netzwerkanalysen.
In der Realität werden komplexere Problemlösungen gesucht, zum Beispiel Tourenplanung für ein Logistik-Fahrzeug mit begrenzter Ladekapazität, begrenzter Fahrzeit des Fahrers und einzuhaltenden Lieferterminen bei den Kunden.
Auch Lösungen zur Fahrzeugnavigation sind in der Regel komplizierter, da hier z.B. Einbahnstraßen und die zeitlich sich schnell ändernde Verkehrsdichte zu berücksichtigen sind.